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”

    在黎曼猜想的研究上，如果说还有人不弱于他自己的话，那么那个人无疑是g·法尔廷斯教授。

    这位在代数几何和数论领域贡献卓著的老先生，是公认的公认为‘代数几何之王’，其研究革新了现代数论与几何的互动范式。

    更关键的是，自从他完成对算术曲面的黎曼-罗赫定理以及p-adic霍奇理论的突破后，就一直在研究黎曼猜想。

    十几年的时间下来，谁也不知道他在这方面的进展到底有多深。

    在上次弱·黎曼猜想证明的报告会上，徐川和他交流过有关于黎曼猜想的研究。

    尽管这位老先生赞扬了他所创造的回归π（x）质数计数函数，反推压缩非平凡零点的核心工具，但对于他的成果却并没有太的惊讶。

    两个人交流的过程中，他甚至有种感觉对于弱·黎曼猜想的研究，也就是对于非平凡零点的推进工作，法尔廷斯教授似乎有种不屑为之的态度。

    或者说，他对于非平凡零点的推进，已经有了不弱于他的研究。

    只是这位老先生认为对非平凡零点的传统形式推进根本就无法解决黎曼猜想。

    快速的点开论文，徐川的目光落在论文的标题上。

    《非平凡零点的纵向‘周期性’调和函数的极值证明。》

    看到论文的标题，他便皱起了眉头。

    “黎曼猜想”是指猜测一个在复数域内定义的zeta函数其所有零点（函数值等于0的点）都位于临界线（实部为1/2的直线）上。

    该猜想的正确性是数学界普遍认可的。

    而证明‘黎曼猜想’的根本困难在于zeta函数是一个在复数域内定义的包含无穷级数的无穷积分，其变化情况难以通过现有微积分知识来认识。

    纵观已有失败经历，任何想绕过这个无穷积分的尝试都是徒劳的，因为所有信息都隐含其中。

    包括与zeta函数等价的xi函数具有自然的“对称性”。

    数学界并不是没有人尝试过利用‘对称性’和调和函数的‘极值原理’或者说一些其他几何技巧对黎曼猜想进行尝试性的证明。

    但最关键的一点是几乎没有人能够做到证明xi函数的实部于临界线附近不存在正的极小值和负的极大值。

    倒在这条路上的甚至不乏顶级数学家。

    比如证明了代数数有理逼近的瑟厄-西格尔-罗斯定理，在上个世纪五十年代末获得了菲尔兹奖的克劳斯·费里德里希·罗斯教授。

    以及2002年获得菲尔兹奖的洛朗·拉佛阁教授。

    “ξ(s)函数的实部的纵向周期性？”

    看着论文的标题，徐川皱着眉头陷入了沉思中。

    xi函数是黎曼ζ函数的一个变体，通常表示为ξ(s)。

    它是由数学家埃米尔·黎曼引入的，用于研究素数分布和黎曼猜想。

    其定义为：ξ(s)=1/2·s(s1)πs/2Γ(2s)ζ(s)，其中，(\zeta(s))是黎曼ζ函数，(\gamma(s))是伽玛函数，(\pi)是圆周率。

    xi函数在数学和物理中有广泛的应用，特别是在素数分布的研究中。

    它与黎曼ζ函数密切相关，而后者在复平面上的某些特定点具有特殊的性质。

    这些性质与素数分布的某些特征有关。

    黎曼猜想是关于ζ函数的零点分布的猜想，而xi函数在其中扮演了重要角色。

    数学家可以通过对黎曼ζ函数进行解析延拓得到与xi函数相关的表达式，并通过分部积分等方法进一步推导其性质。

    这也就意味着对xi函数的反推，也能够解析拓展黎曼ζ函数。

    “通过对xi函数的对称性、单调性、周期性来进行推导，引入调和分析工具.”

    “再对狄利克雷多项式建立矩阵，利用特殊的向量本证值来进行解析。”

    “理论上来说，如果能够证明最大的本征值不会太大，就能够完成对周期性的证明工作。”

    “但这并不能完全证明黎曼猜想，只能做到黎曼猜想，应该只能说是无限接近的地步。”

    高铁上，徐川翻阅着论文，皱着眉头思索着。

    如果将“黎曼猜想”依据临界带（实部为0和1的两直线之间的区域）内和临界线上零点的分布情况可划分成三个依次递进的命题。

    那么第一个命题是‘临界带内零点个数满足特定估计式’，也就是黎曼所提出的非平凡零点的分布在实部大于0但是小于1的带状区域上。

    这个命题早已经被证明。

    只是有意思的是，早在黎曼当初提出这个命题时，就给出了肯定的答案。

    但黎曼并没有给出对应的证明过程。

    直到四十多年后，这一证明才由芬兰数学家梅林教授完成。

    而第二个命题则是即黎曼函数临界线上的零点个数也满足同样的估计式，即有无穷个非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线上。

    同样的是，黎曼对于这个命题也给出了肯定。

    但同样遗憾的是，他没有给出任何证明的线索，只是在与朋友的一封通信里提及：命题的证明还没有简化到可以发表的程度。

    直到1914年，也就是约莫六十年后，才由英国数学家戈德弗雷·哈代证明了黎曼ζ函数在临界线（实部为1/2的直线）上存在无穷多个非平凡零点。

    而最后一个命题则是对黎曼猜想本身的证明，即所有的非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线上。

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